2022年天津市高考数学冲刺试卷及答案解析
一、单选题
1．设全集
A．
【答案】B
【分析】先计算
【详解】因为
所以
故选：B.
2．设
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由
3．函数
A．
C．
【答案】D
【详解】试题分析：因为
【解析】函数图象与函数性质．
4．对一批产品进行了抽样检测，测量其净重(单位：克)，将所得数据分为5组：
A．90 B．75 C．60 D．45
【答案】A
【分析】根据题意样本中产品净重小于100克的频率为0.3，进而得样本容量为120，再计算样本中产品净重落在区间
【详解】由题知：样本中产品净重小于100克的频率为
因为样本中产品净重小于100克的个数是36，
所以样本容量为
又因为样本中产品净重落在区间
所以样本中产品净重落在区间
故选：A
5．已知函数
A．
C．
【答案】D
【分析】先分析
【详解】因为
又因为
当
又因为
所以
故选：D.
【点睛】思路点睛：根据函数的性质比较函数值大小关系的一般步骤：
（1）先分析函数的奇偶性，由
（2）再分析函数的单调性，由函数解析式或者单调性定义进行判断；
（3）结合奇偶性将待比较的函数值的自变量转换到同一单调区间，再结合单调性即可比较出大小.
6．球与棱长为
A．
【答案】C
【分析】采用补形的方法，将正四面体补充为正方体，由此分析出球与正方体的关系，再根据正方体的棱长求解出球的表面积.
【详解】将正四面体补形为一个正方体如图所示（红色线条表示正四面体），则正四面体的棱为正方体的面对角线，
因为球与正四面体的各条棱都相切，所以球与正方体的各个面都相切，所以所求的球为正方体的内切球，
又因为正方体的棱长为
所以球的表面积为：
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于找到正四面体和正方体之间的联系，将原本复杂的正四面体的棱切球问题转化为较为简单的正方体的内切球问题.
7．已知抛物线
A．
【答案】D
【分析】先求出抛物线的方程，从而得到
【详解】因为
故抛物线的方程为
因为离心率为
根据抛物线和双曲线的对称性，不妨设
则
故双曲线方程为：
故选：D.
【点睛】方法点睛：（1）
（2）如果直线
8．已知函数
①函数
②
③
④当
A．①③ B．③④ C．② D．②③④
【答案】C
【分析】先根据辅助角公式化简
【详解】因为
所以
所以
①
②
③因为
又因为
④当
所以
所以
故选：C.
【点睛】思路点睛：求解形如
（1）先确定
（2）分析
（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的
9．已知函数
A．
【答案】B
【分析】根据已知条件先分析得到
【详解】由题意可知：
又对
又
由
设
当
此时
此时
又因为
所以
故选：B.
【点睛】结论点睛：
二、填空题
10．已知
【答案】2
【详解】试题分析：由
【解析】复数相等
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
11．
【答案】
【详解】试题分析：由题意得
【解析】二项式定理．
12．设直线
【答案】
【分析】圆
【详解】解：圆
即
解得：
解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题.
13．甲箱子里装有3个白球､2个黑球，乙箱子里装有1个白球､2个黑球，这些球颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，则一次游戏摸出的白球不少于2个的概率为___________.
【答案】
【分析】根据对立事件的概率公式进行求解即可.
【详解】一次游戏摸出1个白球的概率为：
一次游戏摸出0个白球的概率为：
因此一次游戏摸出0个白球或1个白球的概率为：
所以一次游戏摸出的白球不少于2个的概率为：
故答案为：
14．已知
【答案】
【分析】由题意可得
【详解】由
结合
当且仅当
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
15．平行四边形
【答案】
【分析】选取
【详解】设
则
又因为
解得
设
则
因为
当
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解题时选取两个向量为基底，用基底表示所求向量是解题的关键．
三、解答题
16．
（1）求
（2）若
【答案】（1）
【分析】（1）先根据正弦定理将原式化简，由此得到
（2）先根据（1）的结果求解出
【详解】（1）因为
所以由正弦定理可得
即
而
（2）由（1）知
所以
又
由余弦定理得
【点睛】易错点睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事项：
（1）注意隐含条件“
（2）利用正弦定理进行边角互化时，要注意结合条件判断将边转化为角的形式还是将角转化为边的形式.
17．如图，四棱锥
（I）求证：
（Ⅲ）若
【答案】（I）见解析；（Ⅱ）
【详解】试题分析：(I)
试题解析：
证明：(I)连结AC．因为为在
所以
因为AB//CD，所以
又因为
所以
(II)如图建立空间直角坐标系，则
因为M是棱PD的中点，所以
所以
所以
所以平面MAB的法向量
所以
所以
所以二面角
(III)因为N是棱AB上一点，所以设
设直线CN与平面MAB所成角为
因为平面MAB的法向量
所以
解得
18．椭圆
（Ⅰ）求椭圆
（Ⅱ）如图，
【答案】(1)
【详解】（1）
由（1)知A(-2，0),B(2，0),D(0，1),则直线AD方程为：
【解析】本题考查椭圆的标准方程、简单的几何性质，考查直线和椭圆相交问题，定值问题，考查综合解答问题的能力.
19．设
（1）求
（2）设
（3）求
【答案】（1）
【分析】（1）根据等比数列的性质列出式子求出
（2）求出
（3）可得
【详解】（1）解：设等差
