一、圆的定义和有关概念
1、圆的有关概念
（1）圆的定义：在一个平面内，线段$OA$绕它固定的一个端点$O$旋转一周，另一个端点$A$ 所形成的图形叫做圆。其固定的端点$O$叫做圆心，线段$OA$叫做半径。以点$O$为圆心的圆，记作“$⊙O$”，读作“圆$O$”。
此外，圆心为$O$，半径为$r$的圆可以看成是所有到定点$O$的距离等于定长$r$的点的集合。
（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（3）直径：经过圆心的弦叫做直径。
（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以$A$，$B$为端点的弧记作$overset{frown} {AB}$，读作“圆弧$AB$”或“弧$AB$”。
圆的任意一条非直径的弦把圆分成两条不同长的弧，大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个点表示；小于半圆的弧叫做劣弧。
（5）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。
容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
2、垂直于弦的直径
（1）圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆有无数条对称轴。
圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
圆还具有旋转不变性。
（2）垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
（2）圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样还可以得到：
① 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
② 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
4、圆周角
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
（2）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
在同圆或等圆中，两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
（3）圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
（4）圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补。
5、点和圆的位置关系
设$⊙O$的半径为$r$，点$P$到圆心的距离$OP=d$，则有
（1）点$P$在$⊙O$外，$d>r$。
（2）点$P$在$⊙O$上，$d=r$。
（3）点$P$在$⊙O$内，$d<r$。
6、三角形的外接圆
（1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
（2）三角形的外接圆的有关概念：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
（3）三角形外接圆的作法
① 确定圆心：三角形两边的垂直平分线的交点即为圆心；
② 确定半径：交点到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径。
7、直线和圆的位置关系
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为$d$。
（1）相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。此时公共点数为2，$d<r$。
（2）相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。此时公共点数为1，$d=r$。
（3）相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。此时公共点数为0，$d>r$。
8、圆的切线
（1）切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。此外，经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；垂直于切线且过切点的直线必过圆心。
（2）切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
9、切线长
（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
10、切线的判定和性质的应用
（1）辅助线的作法
运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题。
（2）证明直线与圆相切的三种途径
① 证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）。
② 证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）。
③ 证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证$d=r$）。
当题目已知直线与圆的公共点时，一般用方法② ，当题目未知直线与圆的公共点时，一般用方法③ 。
11、三角形的内切圆
（1）三角形的内切圆的有关概念
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
（2）三角形内切圆的作法
确定圆心：三角形两条角平分线的交点即为圆心。
确定半径：交点到三角形任意一边的距离即为内切圆的半径。
（3） 如果三角形三边长分别为$a$，$b$，$c$，内切圆半径为$r$，则三角形的面积$S=frac{1}{2}(a+b+c)r$。
12、圆和圆的位置关系
设两圆的半径分别为$r_1$和$r_2(r_1<r_2)$，圆心距为$d$。
（1）两圆相离
① 外离：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。此时$d>r_1+r_2Leftrightarrow$ 外离。没有公共点。
② 内含（含同心圆）：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含；两个圆的圆心重合时，我们称这两个圆是同心圆。此时$d=r_2-r_1Leftrightarrow$ 内含，$d=0Leftrightarrow$ 同心圆。没有公共点。
（2）两圆相切
① 外切：两个圆有唯一公共点，并且除这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。此时$d=r_1+r_2Leftrightarrow$ 外切。公共点个数为1。
② 内切：两个圆有唯一公共点，并且除这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。此时$d=r_2-r_1Leftrightarrow$ 内切。公共点个数为1。
（3）两圆相交
两个圆有两个公共点时，叫做两圆相交。此时$r_2-r_1<d<r_1+r_2Leftrightarrow$ 相交。公共点个数为2。
13、正多边形和圆
（1）正多边形的有关概念
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
（2）正多边形的画法
正$n$边形的画法思想是将圆$n$等分，然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形。如作正六边形，可以先画一个半径与已知边长相等的圆，然后在上面截取得到等分点，连接即得到所要作的正六边形。并非所有的正多边形都可以只用尺规作出。
（3）正多边形的计算
设正多边形的边数为$n$，半径为$R$，边心距为$r$，边长为$a$，则有：
① 正多边形的内角：$frac{(n-2)·180°}{n}=$$180°-$$frac{360°}{n}$。
② 正多边形的中心角：$frac{360°}{n}$。
③ 正多边形的半径：$R^2=r^2+frac{1}{4}a^2$。
④ 正多边形的周长：$C=n·a$。
⑤ 正多边形的面积：$S=frac{1}{2}nar=frac{1}{2}C·r$。
14、弧长和扇形面积
（1）弧长公式
在半径为$R$的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长$C=2πR$，所以$n°$的圆心角所对的弧长为$l=2πR·frac{n}{360}$，即$l=frac{nπR}{180}$。
（2）扇形面积公式
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。在半径为$R$的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积$S=πR^2$，所以圆心角为$n°$的扇形面积是$S_{扇形}=$$πR^2×$$frac{n}{360}=$$frac{nπR^2}{360}$。
（3）圆锥的母线
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
（4）圆锥的侧面展开图及有关计算
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。
设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$ ，那么这个扇形的半径为$l$，扇形的弧长为$2πr$，因此圆锥的侧面积为$S_{圆锥侧}=$$frac{1}{2}×$$2πr·l=$$πlr$，圆锥的全面积为$S_{圆锥全}=$$πlr+$$πr^2$。
二、圆的相关例题
若$⊙O$的半径为5 cm，点$A$到圆心$O$的距离为4 cm，那么点$A$与$⊙O$的位置关系是___
A．点$A$在圆外
B．点$A$在圆上
C．点$A$在圆内
D．不能确定
答案：C
解析：∵4 cm<5 cm，即$d<r$，∴点$A$与$⊙O$的位置关系是点$A$在圆内。
