2021年黑龙江高考理科数学真题答案解析

数学试题2023-01-20 13:36
2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学乙卷

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设2(z+

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)+3(z-

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)=4+6i,则z=( ).

A.1-2i

B.1+2i

C.1+i

D.1-i

2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=( )

A.

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B.S

C.T

D.Z

3.已知命题p:

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x∈R,sinx<1;命题q:

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x∈R,

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≥1,则下列命题中为真命题的是( )

A.p

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q

B.

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p

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q

C.p

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q

D.

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(pVq)

4.设函数f(x)=

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,则下列函数中为奇函数的是( )

A.f(x-1)-1

B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1

D.f(x+1)+1

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )

A.

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B.

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C.

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D.

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6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )

A.60种

B.120种

C.240种

D.480种

7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的

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倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移

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个单位长度,得到函数y=sin(x-

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)的图像,则f(x)=( )

A.sin(

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)

B. sin(

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)

C. sin(

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)

D. sin(

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)

8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于

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的概率为( )

A.

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B.

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C.

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D.

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9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海盗的高。如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=( ).

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A:

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B:

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C:

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D:

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10.设a≠0,若x=a为函数

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的极大值点,则( ).

A:a<b

B:a>b

C:ab<a2

D:ab>a2

11.设B是椭圆C:

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(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足

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,则C的离心率的取值范围是( ).

A:

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B:

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C:

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D:

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12.设

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,则( ).

A:a<b<c

B:b<c<a

C:b<a<c

D:c<a<b

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.已知双曲线C:

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(m>0)的一条渐近线为

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+my=0,则C的焦距为.

14.已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=。

15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为

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,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

16.以图①为正视图和俯视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).

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三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(12分)

某厂研究了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:

旧设备

9.8

10.3

10.0

10.2

9.9

9.8

10.0

10.1

10.2

9.7

新设备

10.1

10.4

10.1

10.0

10.1

10.3

10.6

10.5

10.4

10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为

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,样本方差分别记为s12和s22

(1)求

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, s12,s22;

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果

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-

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,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).

18.(12分)

如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM,

(1)求BC;

(2)求二面角A-PM-B的正弦值。

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19.(12分)

记S n为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项和,已知

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=2.

(1)证明:数列{bn}是等差数列;

(2)求{an}的通项公式.

20.(12分)

设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点。

(1)求a;

(2)设函数g(x)=

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,证明:g(x)<1.

21.(12 分)

己知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求p;

(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求

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PAB的最大值.

(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

22.[选修4一4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,

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C的圆心为C(2,1),半径为1.

(1)写出

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C的一个参数方程;的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)过点F(4,1)作

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C的两条切线, 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条直线的极坐标方程.

23.[选修4一5:不等式选讲](10分)

已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;

(2)若f(x)≥ —a ,求a的取值范围.

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理科数学乙卷(参考答案)

 

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回

 

1-5 CCABD

6-10 CBBAD

11-12 CB

13.4

14.

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15.2

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16.②⑤或③④

17.解:(1)各项所求值如下所示

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=

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(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0

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=

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(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3

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=

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x [(9.7-10.0)2 + 2 x (9.8-10.0)2 + (9.9-10.0)2 + 2 X (10.0-10.0)2 + (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2] = 0.36,

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=

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x [(10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2 +(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2] = 0.4.

(2)由(1)中数据得

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-

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=0.3,2

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≈0.34

显然

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-

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<2

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,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

18.解:(1)因为PD⊥平面ABCD,且矩形ABCD中,AD⊥DC,所以以

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,

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,

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分别为x,y,z轴正方向,D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。

设BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M(

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,1,0),P(0,0,1),所以

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=(t,1,-1),

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=(

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,1,0),

因为PB⊥AM,所以

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=-

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+1=0,所以t=

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,所以BC=

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(2)设平面APM的一个法向量为m=(x,y,z),由于

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=(-

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,0,1),则

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令x=

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,得m=(

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,1,2)。

设平面PMB的一个法向量为n=(xt,yt,zt),则

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=1,得n=(0,1,1).

所以cos(m,n)=

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=

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=

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,所以二面角A-PM-B的正弦值为

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.

 

19.(1)由已知

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+

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=2,则

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=Sn(n≥2)

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+

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=2

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2bn-1+2=2bn

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bn-bn-1=

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(n≥2),b1=

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故{bn}是以

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为首项,

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为公差的等差数列。

(2)由(1)知bn=

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+(n-1)

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=

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,则

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+

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=2

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Sn=

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n=1时,a1=S1=

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n≥2时,an=Sn-Sn-1=

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-

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=

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故an=

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20.(1)[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)

当x=0时,[xf(x)]′=f(0)=lna=0,所以a=1

(2)由f(x)=ln(1-x),得x<1

当0<x<1时,f(x)=ln(1-x)<0,xf(x)<0;当x<0时,f(x)=ln(1-x)>0,xf(x)<0

故即证x+f(x)>xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)>0

令1-x=t(t>0且t≠1),x=1-t,即证1-t+lnt-(1-t)lnt>0

令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,则

f′(t)=-1-

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-[(-1)lnt+

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]=-1+

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+lnt-

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=lnt

所以f(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(t)>f(1)=0,得证。

 

21.解:(1)焦点

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的最短距离为

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,所以p=2.

(2)抛物线

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,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则

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,

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,且

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.

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,

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都过点P(x0,y0),则

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,即

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.

联立

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,得

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.

所以

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=

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,所以

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=

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=

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=

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.

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.故当y0=-5时,

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达到最大,最大值为

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.

22. (1)因为

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C的圆心为(2,1),半径为1.故

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C的参数方程为

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为参数).

 (2)设切线y=k(x-4)+1,即kx-y-4k+1=0.故

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=1

即|2k|=

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,4

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=

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,解得k=±

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.故直线方程为y=

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(x-4)+1, y=

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(x-4)+1

故两条切线的极坐标方程为

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sin

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=

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cos

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-

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+1或

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sin

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=

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cos

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+

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+1.

23.解:(l)a = 1时,f(x) = |x-1|+|x+3|, 即求|x-1|+|x-3|≥ 6 的解集.

当x≥1时,2x十2 ≥6,得x≥ 2;

当-3<x<1时,4≥6此时没有x满足条件;

当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4,

综上,解集为(-∞,-4]U[2, -∞).

(2) f(x)最小值>-a,而由绝对值的几何意义,即求x到a和-3距离的最小值.

当x在a和-3之间时最小,此时f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|>-a.

A≥-3时,2a+3>0,得a>-

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;a<-3 时,-a-3>-a,此时a不存在.

综上,a>-

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.

 

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