绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试(乙卷)
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集
,集合,则()A.
B.C.D.2.设
,则()A.
B.C.D.3.已知命题
﹔命题﹐,则下列命题中为真命题的是()A.
B.C.D.4.函数
的最小正周期和最大值分别是()A.
和B.和2C.和D.和25.若
满足约束条件则的最小值为()A.18B.10C.6D.4
6.
()A.
B.C.D.7.在区间
随机取1个数,则取到的数小于的概率为()A.
B.C.D.8.下列函数中最小值为4的是()
A.
B.C.
D.9.设函数
,则下列函数中为奇函数的是()A.
B.C.D.10.在正方体
中,P为的中点,则直线与所成的角为()A.
B.C.D.11.设B是椭圆
的上顶点,点P在C上,则的最大值为()A.
B.C.D.212.设
,若为函数的极大值点,则()A.
B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量
,若,则_________.14.双曲线
的右焦点到直线的距离为________.15.记
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则________.16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________(写出符合要求的一组答案即可).
三、解答题.共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 | 9.8 | 10.3 | 10.0 | 10.2 | 9.9 | 9.8 | 10.0 | 10.1 | 10.2 | 9.7 |
新设备 | 10.1 | 10.4 | 10.1 | 10.0 | 10.1 | 10.3 | 10.6 | 10.5 | 10.4 | 10.5 |
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为
和,样本方差分别记为和.(1)求
,,,;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果
,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).18.(12分)
如图,四棱锥
的底面是矩形,底面,M为的中点,且.(1)证明:平面
平面;(2)若
,求四棱锥的体积.19.(12分)
设
是首项为1的等比数列,数列满足.已知,,成等差数列.(1)求
和的通项公式;(2)记
和分别为和的前n项和.证明:.20.(12分)
已知抛物线
的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足
,求直线斜率的最大值.21.(12分)
已知函数
.(1)讨论
的单调性;(2)求曲线
过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系
中,的圆心为,半径为1.(1)写出
的一个参数方程;(2)过点
作的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数
.(1)当
时,求不等式的解集;(2)若
,求a的取值范围.