均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
均值不等式的公式
1、调和平均数：Hn=n/(1/a_1+1/a_2+⋯+1/a_n )
2、几何平均数：Gn=n√(a_1 a_2…a_n )
3、算术平均数：An=(a_1+a_2+⋯+a_n)/n
4、平方平均数：Qn=√((a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2)/n)
5、均值定理： 如果
属于正实数那么且仅当时 等号成立。
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（当r不等于0时）；
（a1a2...an)^(1/n）（当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））
则 [1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵
由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
均值定理的证明：因为 a 〉0 ， b 〉0 所以 a+b/2 - √ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0
即 a+b/2≥√ab. 当且仅当√a= √b ,等号成立。
均值不等式证明
用数学归纳法的证明
第一步：等价变换，分子增加又减去同一项，巧妙处是这一项指数的选取，正好是要证明的右端。
第二步：（1）把前面（a1+a2+...+ak）用上面假设n=k成立时较小的右端乘k代替，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k),两边乘k：
a1+a2+...+ak≥k（a1a2...ak）^(1/k),
因此≥成立。
（2）难点是a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
其实也很好证明（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，看成是k-1个数，加上a（k+1），也是k个数。
根据上面假设，n=k时，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k)是成立的，
注意！！！a1，a2，...，ak只是正数的代表，不限于什么正数，换成k个数：a（k+1），和k-1个（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，这个不等式也是成立的！代换一下，就成了：
a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
第三步：
前面两项提取k之后成为：
（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
使用前面一开始证明的n=2时的结果，a1+a2≥2√（a1a2）（当成公式，不是当成数）
（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
≥2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2)
=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2)
=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k(k+1)]]}^(1/2)
=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k+1/(k+1)]]}^(1/2)
=2{（a1a2...aka(k+1)）^(1/k)[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k]]}^(1/2)
=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k+1/k]]}^(1/2)
=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）]]}^(1/2)
=2(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）]
然后代入即可。
